极限

1. 函数极限的严格定义（$\varepsilon-\delta$ 语言）

设函数 $f(x)$ 在点 $x_0$ 的某一去心邻域内有定义（即 $x$ 无限接近 $x_0$ 但 $x \neq x_0$），$A$ 为常数。 若对于任意给定的正数 $\varepsilon$（不论它多么小），总存在正数 $\delta$，使得当 $x$ 满足 $0 < |x - x_0| < \delta$ 时，对应的函数值 $f(x)$ 都满足不等式 $|f(x) - A| < \varepsilon$， 则称常数 $A$ 为函数 $f(x)$ 当 $x \to x_0$ 时的极限，记作： $\lim_{x \to x_0} f(x) = A \quad \text{或} \quad f(x) \to A \, (x \to x_0)$

2. 自变量趋于无穷大时的极限（$\varepsilon-X$ 语言）

设函数 $f(x)$ 当 $|x|$ 大于某一正数时有定义，$A$ 为常数。 若对于任意给定的正数 $\varepsilon$，总存在正数 $X$，使得当 $x$ 满足 $|x| > X$ 时，对应的函数值 $f(x)$ 都满足不等式 $|f(x) - A| < \varepsilon$， 则称常数 $A$ 为函数 $f(x)$ 当 $x \to \infty$ 时的极限，记作： $\lim_{x \to \infty} f(x) = A$ (注：若限制 $x > X$，则为 $x \to +\infty$ 的情形；若限制 $x < -X$，则为 $x \to -\infty$ 的情形。)

3. 数列极限的定义（$\varepsilon-N$ 语言）

设 $\{x_n\}$ 为一数列，$a$ 为常数。 若对于任意给定的正数 $\varepsilon$，总存在正整数 $N$，使得当 $n > N$ 时，不等式 $|x_n - a| < \varepsilon$ 恒成立， 则称常数 $a$ 是数列 $\{x_n\}$ 的极限，记作： $\lim_{n \to \infty} x_n = a \quad \text{或} \quad x_n \to a \, (n \to \infty)$

4. 极限存在的充要条件（左右极限）

函数 $\lim\limits_{x \to x_0} f(x) = A$ 存在的充分必要条件是左极限和右极限均存在且相等，即： $\lim_{x \to x_0^-} f(x) = \lim_{x \to x_0^+} f(x) = A$

5. 极限基本公式

1. $\lim\limits_{x\to a} c = c$

2. $\lim\limits_{x\to a} x = a$

3. 对于任意在 $x = a$ 处有定义的函数 $f(x)$ ， 有 $\lim\limits_{x\to a} f(x) = f(a)$

4. $\lim\limits_{x\to a} [f(x) + g(x)] = \lim\limits_{x\to a} f(x) + \lim\limits_{x\to a} g(x)$

5. $\lim\limits_{x\to a} [f(x) - g(x)] = \lim\limits_{x\to a} f(x) - \lim\limits_{x\to a} g(x)$

6. $\lim\limits_{x\to a} [f(x) g(x)] = \lim\limits_{x\to a} f(x) \cdot \lim\limits_{x\to a} g(x)$

7. $\lim\limits_{x\to a} \left[\cfrac{f(x)}{g(x)}\right] = \cfrac{\lim\limits_{x\to a} f(x)}{\lim\limits_{x\to a} g(x)}$ ，其中 $\lim\limits_{x\to a} g(x) \neq 0$

微分（求导数）

定义：若存在一个函数 $y = f(x)$ ， 则有 $y' = f'(x) = \cfrac{dy}{dx} = \cfrac{df}{dx}(x) = \lim\limits_{dx\to 0} \cfrac{f(x + dx) - f(x)}{dx}$

1. $\cfrac{d}{dx} c = 0$

2. $\cfrac{d}{dx} ax = a$

3. $\cfrac{d}{dx} x^n = nx^{n - 1}$

4. $\cfrac{d}{dx} a^x = \ln{a} \cdot a^x (a > 0)$

5. $\cfrac{d}{dx} \log_a{x} = \cfrac{1}{x\ln{a}}$

基本运算

1. $\cfrac{d}{dx} [f(x) + g(x)] = f'(x) + g'(x)$

2. $\cfrac{d}{dx} [f(x) - g(x)] = f'(x) - g'(x)$

3. $\cfrac{d}{dx} [f(x) g(x)] = f(x) \cdot g'(x) + g(x) \cdot f'(x)$

4. $\cfrac{d}{dx} \left[\cfrac{f(x)}{g(x)}\right] = \cfrac{g(x) \cdot f'(x) - f(x) \cdot g'(x)}{\left[g(x)\right]^2}$

三角函数的导数

1. $\cfrac{d}{dx} \sin x = \cos x$
2. $\cfrac{d}{dx} \cos x = -\sin x$
3. $\cfrac{d}{dx} \tan x = \sec^2 x$
4. $\cfrac{d}{dx} \cot x = -\csc^2 x$
5. $\cfrac{d}{dx} \sec x = \sec x \tan x$
6. $\cfrac{d}{dx} \csc x = -\csc x \tan x$

链式法则

$\cfrac{d}{dx} f[g(x)] = \cfrac{d}{dx} g(x) \cdot \cfrac{df}{dx} [g(x)]$

积分